Un'altra serie di paradossi ed esperimenti mentali
Ti ci vorrà molto meno tempo per leggere questa raccolta che per pensare ai paradossi presentati in essa. Alcuni problemi sono contraddittori solo a prima vista, altri, anche dopo centinaia di anni di intenso lavoro mentale su di essi da parte dei più grandi matematici, filosofi ed economisti, sembrano insolubili. Chissà, forse sarai tu a poter formulare una soluzione a uno di questi problemi, che diventerà, come si suol dire, libro di testo e sarà incluso in tutti i libri di testo.
1. Il paradosso del valore
Il fenomeno, noto anche come il paradosso del diamante e dell'acqua o il paradosso di Smith (dal nome di Adam Smith, l'economista classico che si ritiene sia il primo a formulare questo paradosso), è che mentre l'acqua come risorsa è molto più utile dei pezzi di cristallo carbonio, che chiamiamo diamanti, il prezzo di quest'ultimo sul mercato internazionale è incomparabilmente superiore al costo dell'acqua.
Adam Smith
Dal punto di vista della sopravvivenza, l'umanità ha davvero bisogno dell'acqua molto più dei diamanti, ma le sue riserve, ovviamente, sono più di quelle dei diamanti, quindi gli esperti dicono che non c'è nulla di strano nella differenza di prezzo - dopotutto, stiamo parlando del costo per unità di ciascuna risorsa, ed è in gran parte determinato da questo un fattore come l'utilità marginale.
Con un continuo atto di consumo di una risorsa, la sua utilità marginale e, di conseguenza, il valore cade inevitabilmente: questo modello è stato scoperto nel 19 ° secolo dall'economista prussiano Hermann Heinrich Gossen. In termini semplici, se a una persona vengono costantemente offerti tre bicchieri d'acqua, berrà il primo, laverà l'acqua dal secondo e il terzo andrà a terra.
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La maggior parte dell'umanità non ha un bisogno acuto di acqua: per averne abbastanza, devi solo aprire il rubinetto dell'acqua, ma non tutti hanno i diamanti, motivo per cui sono così costosi.
2. Il paradosso del nonno assassinato
Questo paradosso fu suggerito nel 1943 dallo scrittore francese di fantascienza Rene Barzhavel nel suo libro The Careless Traveller (originale Le Voyageur Imprudent).
Rene Barzhavel
Supponi di essere riuscito a inventare una macchina del tempo e di tornare al passato. Cosa succede se incontri tuo nonno lì e lo uccidi prima che incontrasse tua nonna? Probabilmente, non a tutti piacerà questo scenario sanguinario, quindi, diciamo, impedisci l'incontro in un altro modo, ad esempio, portalo dall'altra parte del mondo, dove non saprà mai della sua esistenza, il paradosso non scompare da questo.
Se l'incontro non avviene, tua madre o tuo padre non nasceranno, non saranno in grado di concepirti, e di conseguenza non inventerai una macchina del tempo e non tornerai indietro nel tempo, quindi il nonno potrà sposare liberamente la nonna, avranno uno dei tuoi genitori e così via. - il paradosso è ovvio.
La storia del nonno ucciso in passato è spesso citata dagli scienziati come prova dell'impossibilità fondamentale del viaggio nel tempo, ma alcuni esperti affermano che in determinate condizioni il paradosso è del tutto risolvibile. Ad esempio, uccidendo suo nonno, il viaggiatore del tempo creerà una versione alternativa della realtà in cui non nascerà mai.
Inoltre, molti suggeriscono che anche essendo caduto nel passato, una persona non sarà in grado di influenzarlo, poiché ciò porterà a un cambiamento nel futuro, di cui fa parte. Ad esempio, un tentativo di uccidere un nonno è deliberatamente destinato al fallimento: dopotutto, se il nipote esiste, allora suo nonno, in un modo o nell'altro, è sopravvissuto al tentativo di omicidio.
3. Spedisci Teseo
Il nome del paradosso è stato dato da uno dei miti greci che descrivono le gesta del leggendario Teseo, uno dei re ateniesi. Secondo la leggenda, gli Ateniesi tenevano la nave sulla quale Teseo tornò ad Atene dall'isola di Creta per diverse centinaia di anni. Naturalmente, la nave si deteriorò gradualmente ei falegnami sostituirono le assi marce con altre nuove, a causa delle quali non rimase un pezzo di legno vecchio. Le migliori menti del mondo, compresi eminenti filosofi come Thomas Hobbes e John Locke, hanno riflettuto per secoli se si potesse considerare che Teseo fosse su questa nave.
Quindi, l'essenza del paradosso è la seguente: se sostituisci tutte le parti dell'oggetto con quelle nuove, può essere lo stesso oggetto? Inoltre, sorge la domanda: se assembli esattamente lo stesso oggetto dalle parti vecchie, quale dei due sarà "lo stesso"? Rappresentanti di diverse scuole filosofiche hanno dato risposte direttamente opposte a queste domande, ma esistono ancora alcune contraddizioni nelle possibili soluzioni al paradosso di Teseo.
A proposito, se consideriamo che le cellule del nostro corpo si rinnovano quasi completamente ogni sette anni, possiamo supporre che nello specchio vediamo la stessa persona di sette anni fa?
4. Il paradosso di Galileo
Il fenomeno scoperto da Galileo Galilei dimostra le proprietà contraddittorie di insiemi infiniti. Una breve formulazione del paradosso è la seguente: ci sono tanti numeri naturali quanti sono i quadrati, cioè il numero di elementi di un insieme infinito 1, 2, 3, 4 … è uguale al numero di elementi di un insieme infinito 1, 4, 9, 16 …
A prima vista, qui non c'è contraddizione, ma lo stesso Galileo nella sua opera "Due scienze" afferma: alcuni numeri sono quadrati esatti (cioè si può estrarre una radice quadrata intera da essi), mentre altri non sono, quindi, quadrati esatti insieme a numeri ordinari deve esserci più di un quadrato esatto. Nel frattempo, in precedenza in "Scienze" c'è un postulato che ci sono tanti quadrati di numeri naturali quanti sono i numeri naturali stessi, e queste due affermazioni sono direttamente opposte l'una all'altra.
Lo stesso Galileo credeva che il paradosso potesse essere risolto solo in relazione agli insiemi finiti, ma Georg Cantor, uno dei matematici tedeschi del XIX secolo, sviluppò la sua teoria degli insiemi, secondo la quale il secondo postulato di Galileo (circa lo stesso numero di elementi) vale anche per gli insiemi infiniti. Per questo, Cantor ha introdotto il concetto di cardinalità, che coincideva nei calcoli per entrambi gli insiemi infiniti.
5. Il paradosso della frugalità
La formulazione più famosa di un curioso fenomeno economico descritto da Waddill Ketchings e William Foster è: "Più rimandiamo a un giorno di pioggia, prima arriverà". Per capire l'essenza della contraddizione contenuta in questo fenomeno, un po 'di teoria economica.
William Foster
Se durante una recessione economica, gran parte della popolazione inizia a risparmiare i propri risparmi, la domanda aggregata di beni diminuisce, il che a sua volta porta a una diminuzione dei guadagni e, di conseguenza, a un calo del livello complessivo di risparmio e una riduzione del risparmio. In poche parole, esiste una sorta di circolo vizioso in cui i consumatori spendono meno denaro, ma in tal modo peggiorano il loro benessere.
In un certo senso, il paradosso della frugalità è analogo al problema nella teoria dei giochi chiamato dilemma del prigioniero: le azioni che sono vantaggiose per ogni partecipante in una situazione individualmente sono dannose per loro nel complesso.
6. Il paradosso di Pinocchio
Questo è un sottoinsieme del problema filosofico noto come paradosso bugiardo. Questo paradosso è semplice nella forma, ma non nel contenuto. Può essere espresso in tre parole: "Questa affermazione è una bugia", o anche in due parole - "Sto mentendo". Nella versione con Pinocchio, il problema è così formulato: "Il mio naso sta crescendo adesso".
Penso che tu capisca la contraddizione contenuta in questa affermazione, ma per ogni evenienza, punteggiamola tutto: se la frase è corretta, allora il naso sta davvero crescendo, ma questo significa che al momento sta mentendo l'idea di Papa Carlo, il che non può essere, quindi poiché abbiamo già scoperto che l'affermazione è vera. Ciò significa che il naso non dovrebbe crescere, ma se questo non corrisponde alla realtà, l'affermazione è ancora vera, e questo a sua volta indica che Pinocchio sta mentendo … E così via - la catena di cause ed effetti che si escludono a vicenda può essere continuata indefinitamente.
Il paradosso del bugiardo mostra la contraddizione tra l'affermazione nel discorso colloquiale e la logica formale. Dal punto di vista della logica classica, il problema è insolubile, quindi l'affermazione "sto mentendo" non è affatto considerata logica.
7. Il paradosso di Russell
Il paradosso, che il suo scopritore, il famoso filosofo e matematico britannico Bertrand Russell, non ha chiamato altro che il paradosso del barbiere, in senso stretto, può essere considerato una delle forme del paradosso del bugiardo.
Supponiamo, mentre passi davanti a un parrucchiere, di vedere una pubblicità su di esso: “Ti depili? In caso contrario, puoi raderti! Mi rado tutti quelli che non si radono e nessun altro! " È naturale porsi la domanda: come fa un barbiere a gestire la propria barba se rade solo chi non si rade da solo? Se lui stesso non si rade la barba, questo contraddice la sua affermazione vanagloriosa: "Mi rado tutti quelli che non si radono da soli".
Certo, è più facile presumere che il barbiere dalla mentalità ristretta semplicemente non abbia pensato alla contraddizione contenuta nel suo cartello e abbia dimenticato questo problema, ma cercare di comprenderne l'essenza è molto più interessante, sebbene ciò richiederà un breve tuffo nella teoria matematica degli insiemi.
Il paradosso di Russell assomiglia a questo: “Sia K l'insieme di tutti gli insiemi che non si contengono come un elemento proprio. K contiene se stesso come un proprio elemento? Se sì, questo confuta l'affermazione che gli insiemi nella sua composizione "non contengono se stessi come un elemento proprio", in caso contrario, c'è una contraddizione con il fatto che K è l'insieme di tutti gli insiemi che non si contengono come un elemento proprio, e quindi K deve contenere tutti gli elementi possibili, incluso te stesso."
Il problema nasce dal fatto che Russell nel suo ragionamento ha utilizzato il concetto di "insieme di tutti gli insiemi", che di per sé è piuttosto contraddittorio, ed era guidato dalle leggi della logica classica, che non sono applicabili in tutti i casi (vedi paragrafo sei).
La scoperta del paradosso del barbiere ha provocato accesi dibattiti in vari circoli scientifici, che non si sono placati fino ad oggi. Per "salvare" la teoria degli insiemi, i matematici hanno sviluppato diversi sistemi di assiomi, ma non ci sono prove della coerenza di questi sistemi e, secondo alcuni scienziati, non possono esserci.
8. Il paradosso del compleanno
Il nocciolo del problema è questo: se c'è un gruppo di 23 o più persone, la probabilità che due di loro abbiano lo stesso compleanno (giorno e mese) è maggiore del 50%. Per gruppi di 60 persone, la probabilità è superiore al 99%, ma raggiunge il 100% solo se ci sono almeno 367 persone nel gruppo (tenendo conto degli anni bisestili). Ciò è dimostrato dal principio di Dirichlet, dal nome del suo scopritore, il matematico tedesco Peter Gustav Dirichlet.
Peter Gustav Dirichl
A rigore, da un punto di vista scientifico, questa affermazione non contraddice la logica e quindi non è un paradosso, ma dimostra perfettamente la differenza tra i risultati di un approccio intuitivo e calcoli matematici, perché a prima vista, per un gruppo così piccolo, la probabilità di coincidenza sembra notevolmente sovrastimata.
Considerando individualmente ogni membro del gruppo, stimando la probabilità che il loro compleanno coincida con quello di qualcun altro, la probabilità per ogni persona è di circa lo 0,27%, quindi la probabilità totale per tutti i membri del gruppo dovrebbe essere di circa il 6,3% (23 / 365). Ma questo è fondamentalmente sbagliato, perché il numero di opzioni possibili per la scelta di determinate coppie di 23 persone è molto più alto del numero dei suoi membri ed è (23 * 22) / 2 = 253, in base alla formula per calcolare il cosiddetto numero di combinazioni da un dato insieme. Non approfondiremo la combinatoria, puoi verificare la correttezza di questi calcoli a tuo piacimento.
Per 253 varianti di coppie, la probabilità che il mese e la data di nascita dei partecipanti di uno di loro siano gli stessi, come probabilmente hai intuito, è molto superiore al 6,3%.
9. Il problema della gallina e delle uova
Sicuramente, a ciascuno di voi almeno una volta nella vita è stata posta la domanda: "Cosa è apparso prima: una gallina o un uovo?" Esperto in zoologia conosce la risposta: gli uccelli sono nati dalle uova molto prima della comparsa dell'ordine dei polli tra di loro. Vale la pena notare che nella formulazione classica si tratta solo di un uccello e di un uovo, ma consente anche una facile soluzione: dopotutto, ad esempio, i dinosauri sono apparsi prima degli uccelli e si sono anche moltiplicati deponendo le uova.
Se prendiamo in considerazione tutte queste sottigliezze, possiamo formulare il problema come segue: ciò che è apparso prima - il primo animale che depone le uova, o il suo stesso uovo, perché da qualche parte un rappresentante di una nuova specie doveva schiudersi.
Il problema principale è stabilire una relazione causale tra i fenomeni di volume sfocato. Per una comprensione più completa di questo, controlla i Principles of Fuzzy Logic - generalizzazioni della logica classica e della teoria degli insiemi.
In poche parole, il fatto è che gli animali nel corso dell'evoluzione hanno attraversato innumerevoli fasi intermedie - questo vale anche per i metodi di riproduzione. In diversi stadi evolutivi, hanno deposto diversi oggetti che non possono essere identificati inequivocabilmente come uova, ma hanno alcune somiglianze con loro.
Probabilmente, non esiste una soluzione oggettiva a questo problema, anche se, ad esempio, il filosofo britannico Herbert Spencer ha proposto questa opzione: "La gallina è solo un modo in cui un uovo produce un altro uovo".
10. Scomparsa delle cellule
A differenza della maggior parte degli altri paradossi della collezione, questo "problema" ludico non contiene contraddizioni, serve piuttosto ad allenare l'osservazione e fa ricordare le leggi fondamentali della geometria.
Se hai familiarità con tali attività, puoi saltare la visione del video: contiene la sua soluzione. Consigliamo a tutti gli altri di non salire, come si suol dire, "fino alla fine del libro di testo", ma di pensarci: le aree delle figure multicolori sono assolutamente uguali, ma quando vengono riorganizzate, una delle celle "scompare" (o diventa "non necessaria" - a seconda di quale variante della posizione delle figure considerato come iniziale). Come può essere questo?
Suggerimento: inizialmente c'è un piccolo trucco nel problema, che garantisce la sua "paradossalità", e se riesci a trovarlo, tutto andrà immediatamente a posto, anche se la cellula continuerà a "scomparire".
