I paradossi si possono trovare ovunque, dall'ecologia alla geometria, dalla logica alla chimica. Anche il computer su cui stai leggendo l'articolo è pieno di paradossi. Ecco dieci spiegazioni per alcuni paradossi piuttosto affascinanti. Alcuni di loro sono così strani che semplicemente non riusciamo a comprendere appieno qual è il punto.
1. Il paradosso Banach-Tarski
Immagina di tenere una palla tra le mani. Ora immagina di aver iniziato a fare a pezzi questa palla e che i pezzi possono essere di qualsiasi forma tu voglia. Quindi unisci i pezzi in modo da ottenere due palline invece di una. Quanto saranno grandi queste palline rispetto alla pallina originale?
Secondo la teoria degli insiemi, le due sfere risultanti avranno le stesse dimensioni e forma della palla originale. Inoltre, se teniamo conto che in questo caso le palline hanno volumi diversi, una qualsiasi delle palline può essere trasformata in base all'altra. Questo ci permette di concludere che un pisello può essere diviso in palline delle dimensioni del Sole.
Il trucco del paradosso è che puoi rompere le palle in pezzi di qualsiasi forma. In pratica, questo non può essere fatto: la struttura del materiale e, in definitiva, la dimensione degli atomi impongono alcune restrizioni.
Affinché sia davvero possibile rompere la palla nel modo desiderato, deve contenere un numero infinito di punti a dimensione zero disponibili. Quindi la palla di tali punti sarà infinitamente densa e quando la rompi, le forme dei pezzi potrebbero risultare così complesse da non avere un certo volume. E puoi raccogliere questi pezzi, ognuno dei quali contiene un numero infinito di punti, in una nuova palla di qualsiasi dimensione. La nuova palla sarà ancora composta da infiniti punti, ed entrambe le palle saranno ugualmente infinitamente dense.
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Se provi a mettere in pratica l'idea, niente funzionerà. Ma tutto funziona alla grande quando si lavora con le sfere matematiche: insiemi di numeri infinitamente divisibili nello spazio tridimensionale. Il paradosso risolto è chiamato teorema di Banach-Tarski e gioca un ruolo enorme nella teoria matematica degli insiemi.
2. Il paradosso di Peto
Ovviamente, le balene sono molto più grandi di noi, il che significa che hanno molte più cellule nei loro corpi. E ogni cellula del corpo può teoricamente diventare maligna. Pertanto, le balene hanno molte più probabilità di sviluppare il cancro rispetto agli umani, giusto?
Non in questo modo. Il paradosso di Peto, dal nome del professore di Oxford Richard Peto, sostiene che non vi è alcuna correlazione tra le dimensioni degli animali e il cancro. Gli esseri umani e le balene hanno una probabilità simile di contrarre il cancro, ma alcune razze di topi minuscoli sono molto più probabili.
Alcuni biologi ritengono che la mancanza di correlazione nel paradosso di Peto possa essere spiegata dal fatto che gli animali più grandi resistono meglio ai tumori: il meccanismo funziona in modo tale da prevenire la mutazione cellulare durante il processo di divisione.
3. Il problema del presente
Perché qualcosa esista fisicamente, deve essere presente nel nostro mondo per qualche tempo. Non può esserci un oggetto senza lunghezza, larghezza e altezza, e non può esserci un oggetto senza "durata" - un oggetto "istantaneo", cioè uno che non esiste per almeno un certo periodo di tempo non esiste affatto.
Secondo il nichilismo universale, il passato e il futuro non occupano tempo nel presente. Inoltre, è impossibile quantificare la durata che chiamiamo "tempo presente": qualsiasi quantità di tempo che chiamate "tempo presente" può essere suddivisa in parti: passato, presente e futuro.
Se il presente dura, diciamo, un secondo, allora questo secondo può essere diviso in tre parti: la prima parte sarà il passato, la seconda - il presente, la terza - il futuro. Anche il terzo di secondo, che ora chiamiamo presente, può essere diviso in tre parti. Probabilmente hai già avuto l'idea: puoi continuare così all'infinito.
Quindi, il presente non esiste davvero perché non dura nel tempo. Il nichilismo universale usa questo argomento per dimostrare che nulla esiste affatto.
4. Il paradosso di Moravec
Quando risolvono problemi che richiedono un ragionamento ponderato, le persone hanno difficoltà. D'altra parte, le funzioni motorie e sensoriali di base come camminare non sono affatto difficili.
Ma se parliamo di computer, è vero il contrario: è molto facile per i computer risolvere i problemi logici più complessi come sviluppare una strategia scacchistica, ma è molto più difficile programmare un computer in modo che possa camminare o riprodurre il linguaggio umano. Questa distinzione tra intelligenza naturale e artificiale è nota come il paradosso di Moravec.
Hans Moravek, ricercatore presso il Dipartimento di Robotica della Carnegie Mellon University, spiega questa osservazione attraverso l'idea del reverse engineering del nostro cervello. Il reverse engineering è più difficile per i compiti che gli esseri umani svolgono inconsciamente, come le funzioni motorie.
Da quando il pensiero astratto è diventato parte del comportamento umano meno di 100.000 anni fa, la nostra capacità di risolvere problemi astratti è cosciente. Pertanto, è molto più facile per noi creare una tecnologia che emuli questo comportamento. D'altra parte, non comprendiamo azioni come camminare o parlare, quindi è più difficile per noi ottenere l'intelligenza artificiale per fare lo stesso.
5. Legge di Benford
Qual è la possibilità che il numero casuale inizi con il numero "1"? O dal numero "3"? O con "7"? Se hai un po 'di familiarità con la teoria della probabilità, puoi presumere che la probabilità sia una su nove, o circa l'11%.
Se guardi i numeri reali, noterai che "9" è molto meno comune dell'11% delle volte. Ci sono anche molte meno cifre del previsto, a partire da "8", ma un enorme 30% di numeri che iniziano con la cifra "1". Questo quadro paradossale si manifesta in tutti i tipi di casi reali, dalla dimensione della popolazione ai prezzi delle azioni e alla lunghezza dei fiumi.
Il fisico Frank Benford ha notato per la prima volta questo fenomeno nel 1938. Ha scoperto che la frequenza di occorrenza di una cifra quando la prima diminuisce all'aumentare della cifra da uno a nove. Cioè, "1" appare come prima cifra in circa il 30,1% dei casi, "2" appare in circa il 17,6% dei casi, "3" appare in circa il 12,5% e così via fino a quando "9" appare in come prima cifra solo nel 4,6% dei casi.
Per capirlo, immagina di numerare i biglietti della lotteria in sequenza. Quando hai i biglietti numerati da uno a nove, c'è una probabilità dell'11,1% che un numero sia il primo. Quando aggiungi il biglietto n. 10, la possibilità che un numero casuale inizi con "1" aumenta al 18,2%. Aggiungete i biglietti n. 11 al n. 19 e la possibilità che il numero del biglietto inizi con "1" continua a crescere, raggiungendo un massimo del 58%. Ora aggiungi il biglietto numero 20 e continua a numerare i biglietti. La possibilità che un numero inizi da "2" aumenta e la possibilità che inizi da "1" diminuisce lentamente.
La legge di Benford non si applica a tutte le distribuzioni di numeri. Ad esempio, le serie di numeri il cui intervallo è limitato (altezza o peso umano) non rientrano nella legge. Inoltre non funziona con i set che sono solo di uno o due ordini.
Tuttavia, la legge copre molti tipi di dati. Di conseguenza, le autorità possono utilizzare la legge per rilevare le frodi: quando le informazioni fornite non seguono la legge di Benford, le autorità possono concludere che qualcuno ha fabbricato i dati.
6. C-paradosso
I geni contengono tutte le informazioni necessarie per creare e sopravvivere a un organismo. Inutile dire che gli organismi complessi devono avere i genomi più complessi, ma questo non è vero.
Le amebe unicellulari hanno genomi 100 volte più grandi degli umani, infatti hanno alcuni dei più grandi genomi conosciuti. E in specie molto simili tra loro, il genoma può essere radicalmente diverso. Questa stranezza è nota come il paradosso C.
Un interessante spunto dal paradosso C è che il genoma può essere più grande del necessario. Se si utilizzassero tutti i genomi nel DNA umano, il numero di mutazioni per generazione sarebbe incredibilmente alto.
I genomi di molti animali complessi, come umani e primati, includono DNA che non codifica nulla. Questa grande quantità di DNA inutilizzato, che varia notevolmente da creatura a creatura, sembra essere indipendente da qualsiasi cosa, il che crea il paradosso C.
7. Una formica immortale su una corda
Immagina una formica che striscia lungo una corda di gomma lunga un metro alla velocità di un centimetro al secondo. Immagina anche che la corda si allunghi per un chilometro ogni secondo. La formica arriverà mai alla fine?
Sembra logico che una formica normale non sia capace di questo, perché la velocità del suo movimento è molto inferiore alla velocità con cui si allunga la corda. Tuttavia, la formica alla fine arriverà all'estremità opposta.
Prima ancora che la formica abbia iniziato a muoversi, il 100% della corda giace davanti ad essa. Un secondo dopo, la corda è diventata molto più grande, ma anche la formica ha percorso una certa distanza, e se contate in percentuale, la distanza che deve percorrere è diminuita: è già inferiore al 100%, anche se non molto.
Sebbene la corda sia costantemente tesa, anche la piccola distanza percorsa dalla formica diventa più grande. E mentre la corda complessiva si allunga a una velocità costante, il percorso della formica si accorcia leggermente ogni secondo. La formica continua anche ad andare avanti tutto il tempo a una velocità costante. Così, con ogni secondo la distanza che ha già percorso aumenta e la distanza che deve percorrere diminuisce. In percentuale, ovviamente.
C'è una condizione perché il problema abbia una soluzione: la formica deve essere immortale. Quindi, la formica raggiungerà la fine in 2,8 × 1043,429 secondi, che è leggermente più lungo dell'universo esiste.
8. Il paradosso dell'equilibrio ecologico
Il modello predatore-preda è un'equazione che descrive la reale situazione ecologica. Ad esempio, il modello può determinare quanto cambierà il numero di volpi e conigli nella foresta. Diciamo che l'erba che mangiano i conigli cresce nella foresta. Si può presumere che un tale risultato sia favorevole per i conigli, perché con un'abbondanza di erba si riprodurranno bene e aumenteranno il loro numero.
Il paradosso dell'equilibrio ecologico afferma che non è così: all'inizio, il numero di conigli aumenterà effettivamente, ma la crescita della popolazione di conigli in un ambiente chiuso (foresta) porterà ad un aumento della popolazione di volpi. Quindi il numero di predatori aumenterà così tanto che distruggeranno prima tutte le prede, e poi moriranno da soli.
In pratica, questo paradosso non funziona per la maggior parte delle specie animali, se non altro perché non vivono in un ambiente chiuso, quindi le popolazioni animali sono stabili. Inoltre, gli animali sono in grado di evolversi: ad esempio, in nuove condizioni, le prede avranno nuovi meccanismi di difesa.
9. Il paradosso del tritone
Raduna un gruppo di amici e guarda insieme questo video. Al termine, chiedi a tutti di esprimere la propria opinione, indipendentemente dal fatto che il suono aumenti o diminuisca durante tutti e quattro i toni. Sarai sorpreso di quanto diverse saranno le risposte.
Per capire questo paradosso, devi sapere una o due cose sulle note musicali. Ogni nota ha una certa altezza, che determina se sentiamo un suono alto o basso. La nota dell'ottava successiva più alta suona due volte più alta della nota dell'ottava precedente. E ogni ottava può essere divisa in due intervalli di tritono uguali.
Nel video, il tritone separa ogni coppia di suoni. In ogni coppia, un suono è una miscela delle stesse note di ottave diverse, ad esempio una combinazione di due note di Do, in cui una suona più alta dell'altra. Quando un suono in un tritono passa da una nota all'altra (ad esempio, un Sol diesis tra due Do), è perfettamente ragionevole interpretare la nota come più alta o più bassa della precedente.
Un'altra proprietà paradossale dei tritoni è la sensazione che il suono si abbassi costantemente, sebbene il tono non cambi. Nel nostro video puoi guardare l'effetto per un massimo di dieci minuti.
10. L'effetto Mpemba
Davanti ci sono due bicchieri d'acqua, esattamente la stessa in tutto tranne uno: la temperatura dell'acqua nel bicchiere sinistro è più alta che in quello destro. Metti entrambi i bicchieri nel congelatore. In quale bicchiere l'acqua si congelerà più velocemente? Puoi decidere quello a destra, in cui l'acqua era inizialmente più fredda, ma l'acqua calda si congelerà più velocemente dell'acqua a temperatura ambiente.
Questo strano effetto prende il nome da uno studente tanzaniano che lo osservò nel 1986 quando congelò il latte per fare il gelato. Alcuni dei più grandi pensatori - Aristotele, Francis Bacon e René Descartes - hanno già notato questo fenomeno, ma non sono stati in grado di spiegarlo. Aristotele, ad esempio, ha ipotizzato che una qualità si esalti in un ambiente opposto a questa qualità.
L'effetto Mpemba è possibile a causa di diversi fattori. Potrebbe esserci meno acqua in un bicchiere di acqua calda, poiché una parte evaporerà e, di conseguenza, dovrebbe congelare meno acqua. Inoltre, l'acqua calda contiene meno gas, il che significa che i flussi di convezione si verificheranno più facilmente in tale acqua, quindi sarà più facile che si congeli.
Un'altra teoria è che i legami chimici che tengono insieme le molecole d'acqua siano indeboliti. Una molecola d'acqua è composta da due atomi di idrogeno legati a un atomo di ossigeno. Quando l'acqua si riscalda, le molecole si allontanano leggermente l'una dall'altra, il legame tra di loro si indebolisce e le molecole perdono energia: questo consente all'acqua calda di raffreddarsi più velocemente dell'acqua fredda.
