Che tu stia cronometrando per controllare quanto velocemente riesci a riempire la tua caffettiera o semplicemente contando i tuoi passi fino alla fermata dell'autobus al mattino, c'è qualcosa nella monotonia della vita quotidiana che ci fa provare a trasformarla in un gioco. Gli abitanti della città prussiana di Konigsberg del XVIII secolo (ora, come sapete, questa è Kaliningrad) erano uguali a tutti noi. Fu proprio il gioco che giocarono con sette ponti nella loro città che un giorno suscitò l'interesse di uno dei più grandi matematici della storia umana.
Konigsberg è stato costruito sulle rive del fiume Pregel (Pregolya), che divideva la città in quattro zone residenziali separate. Le persone si sono spostate da un'area all'altra attraverso sette diversi ponti. Secondo la leggenda, un passatempo popolare durante le passeggiate domenicali era quello di provare ad attraversare l'intera città in modo da attraversare ogni ponte una sola volta. Nessuno ha capito come farlo, ma questo non significa che il problema non abbia soluzione. Dovevano solo andare dall'esperto giusto per conoscerlo.
Nel 1735, il sindaco della città di Danzica (ora la Danzica polacca), situata a 120 chilometri a ovest di Konigsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, scrisse a Leonard Euler con una lettera in cui chiedeva aiuto per risolvere questo problema per conto di un professore locale di matematica di nome Heinrich Kuehn. Anche allora, Eulero era un matematico famoso e di grande successo: pubblicò il suo primo libro entro un anno da questa lettera e in tutta la sua vita scrisse più di 500 libri e articoli.
Pertanto, non sorprende che all'inizio Eulero pensasse che fosse al di sotto della sua dignità affrontare questo problema e scrisse in risposta: "Quindi, vede, stimato signore, questo tipo di soluzione non ha praticamente nulla a che fare con la matematica, e non capisco perché lei abbia a che fare con questo una richiesta a un matematico e non a qualcun altro, poiché la decisione si basa solo sul buon senso e non dipende da nessuno dei principi matematici conosciuti ".
Alla fine, tuttavia, Ehler e Kühn riuscirono a convincere Eulero e si rese conto che si trattava di un tipo completamente nuovo di matematica: la "geometria delle posizioni", oggi nota come topologia. Nella topologia, la forma o la posizione esatta di un oggetto non ha importanza. C'è anche una vecchia barzelletta secondo cui un topologo non può dire la differenza tra una ciambella e una tazza di caffè, poiché entrambi gli oggetti hanno esattamente un foro. Fino ad allora, quest'area completamente nuova della matematica era stata solo scritta, ma nessuno aveva ancora capito quali problemi potesse risolvere. I sette ponti di Konigsberg furono un'eccellente conferma sperimentale della nuova teoria, poiché il problema non richiedeva misurazioni o calcoli precisi. Puoi trasformare una mappa della città complessa in un grafico (diagramma) semplice e comprensibile senza perdere alcuna informazione importante.
Mentre si potrebbe essere tentati di risolvere questo problema mappando tutti i possibili percorsi attraverso la città, Eulero si rese immediatamente conto che questa strategia avrebbe richiesto troppo tempo e non avrebbe funzionato con altri problemi simili (e se ci fossero, diciamo, dodici Bridges?). Invece, ha deciso di prendersi una pausa dai ponti per un po 'e ha segnato il terreno con le lettere A, B, C e D. Così, ora potrebbe descrivere il viaggio attraverso il ponte dall'area A all'area B come AB, e il viaggio dall'area A attraverso l'area B D come ABD. È importante notare qui che il numero di lettere nella descrizione del percorso sarà sempre uno in più rispetto al numero di ponti attraversati. Pertanto, il percorso AB attraversa un ponte e il percorso ABD attraversa due ponti e così via. Eulero si rese conto che, poiché ci sono sette ponti a Konigsberg, per attraversarli tutti,il percorso deve essere composto da otto lettere, il che significa che la soluzione del problema richiederà esattamente otto lettere.
Poi ha escogitato una regola più generale utilizzando uno schema ancora più semplificato. Se avessi solo due sezioni terrestri, A e B, e attraversato il ponte una volta, la sezione A potrebbe essere il punto in cui il viaggio è iniziato o è finito, ma saresti nella sezione A solo una volta. Se attraversassi i ponti a, bec una volta, saresti sulla sezione A esattamente due volte. Ciò ha portato a una regola pratica: se hai un numero pari di ponti che portano a un pezzo di terra, devi aggiungerne uno a quel numero, quindi dividere il totale per due per capire quante volte quella sezione dovrebbe essere utilizzata durante il tuo viaggio. (in questo esempio, aggiungendo uno al numero di ponti, cioè a 3, otteniamo quattro e dividendo quattro per due otteniamo due,cioè esattamente due volte durante il viaggio viene attraversata la sezione A).
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Questo risultato riportò Eulero al suo problema originale. Ci sono cinque ponti che portano alla sezione A, quindi la soluzione di otto lettere che sta cercando dovrà essere attraversata tre volte. Le sezioni B, C e D hanno due ponti che le conducono, quindi ciascuna deve attraversare due volte. Ma 3 + 2 + 2 + 2 fa 9, non 8, anche se a seconda delle condizioni è necessario attraversare solo 8 sezioni e attraversare 7 ponti. Ciò significa che è impossibile attraversare l'intera città di Königsberg utilizzando ogni ponte esattamente una volta. In altre parole, in questo caso il problema non ha soluzione.
Tuttavia, come ogni vero matematico, Eulero non si è fermato qui. Ha continuato a lavorare e ha creato una regola più generale per altre città con un numero diverso di ponti. Se la città ha un numero dispari di ponti, allora c'è un modo semplice per scoprire se puoi fare un simile viaggio o no: se la somma del numero di occorrenze di ogni lettera che denota un pezzo di terra è uno in più del numero di ponti (come, ad esempio, nella soluzione di otto lettere, circa accennato in precedenza), un tale viaggio è possibile. Se la somma è maggiore di questo numero, è impossibile.
Che dire di un numero pari di ponti? In questo caso, tutto dipende da dove iniziare. Se inizi dalla sezione A e viaggi attraverso due ponti, A appare due volte nella tua soluzione. Se inizi dall'altra parte, A apparirà solo una volta. Se ci sono quattro ponti, A appare tre volte se questa sezione era il punto di partenza, o due volte se non lo era. In termini generali, questo significa che se il viaggio non inizia dalla sezione A, deve essere attraversato il doppio del numero di ponti (quattro diviso due fa due). Se il viaggio inizia dalla sezione A, deve intersecarsi ancora una volta.
Il genio della soluzione di Eulero non sta nemmeno nella risposta, ma nel metodo che ha applicato. Era uno dei primi usi della teoria dei grafi, nota anche come teoria della rete, un'area della matematica molto ricercata nel mondo di oggi, piena di reti di trasporto, sociali ed elettroniche. Per quanto riguarda Königsberg, la città finì con un altro ponte, che rese controversa la decisione di Eulero, e poi le forze britanniche distrussero la maggior parte della città durante la seconda guerra mondiale. Oggi sia la città che il fiume hanno nomi nuovi, ma il vecchio problema vive in un campo completamente nuovo della matematica.
Igor Abramov
